Semaine des mathématiques : Énigmes et leurs réponses

Semaine des mathématiques, une énigme par jour….

Lundi 12 mars

Niveau 1 :

Retirer 9 allumettes dans la configuration suivante de sorte qu’il ne reste aucun carré.

Niveau 2 :

Un examen est composé de 24 questions. Le barème est le suivant : 0 s’il n’y a pas de réponse, 1 point si la réponse est juste et moins un quart si la réponse est incorrecte.

Un étudiant a obtenu 13 points. Quel est le maximum de réponses justes qu’il a pu donner ?

Mardi 13 mars

Niveau 1 :

Dans l’autobus 40% des passagers étaient des femmes. Au dernier arrêt, deux d’entre elles sont descendues et deux hommes sont montés. Il y a maintenant 30% de femmes. Combien de personnes y a-t-il dans cet autobus ?

Niveau 2 :

Jean, Sophie et Ana sont amis. Ils ont un vélo et peuvent l’utiliser pour transporter un passager. Si chacun d’entre eux marche à 5 km/h, pédale à 15 km/h seul et à 10km/h avec un passager, peuvent-ils parcourir 21 km en 3 heures ?

 

Mercredi 14 mars

Niveau 1

Le code d’un coffre-fort est un nombre à six chiffres qui utilise chacun des chiffres de 1 à 6 exactement une fois.

Si le code est pair et si parmi deux chiffres consécutifs l’un est toujours multiple de l’autre, quel est le code ?

Niveau 2

Si ABCD est un carré de côté 3 cm, quelle est l’aire de la région coloriée ?

Jeudi 15 mars

Niveau 1 :

Les longueurs des côtés d’un triangle sont des nombres entiers. Un côté de ce triangle est deux fois plus grand qu’un autre côté et un côté de ce triangle mesure 15 cm. Quelle est la valeur maximale du périmètre de ce triangle ?

Niveau 2 :

On a un contenant cubique de 30 cm de côté.

Si on y verse 14,4 litres d’eau, à quelle hauteur montera l’eau ?

Vendredi 16 mars

Niveau 1 :

Écrire un nombre dans chacun des cercles de sorte que la somme de trois nombres consécutifs quelconques soit 12.

Niveau 2 :

Un certain nombre d’élèves sont réunis dans une salle de classe. Si l’on triple le nombre d’élèves et que l’on ajoute 5, on obtient un nombre supérieur à 93. Si l’on double le nombre d’élèves et que l’on soustrait 1, on obtient cette fois-ci un nombre inférieur à 60. Combien d’élèves sont dans cette salle ?

 

Voici les réponses aux énigmes de cette année :

Lundi :

Niveau 1

Une possibilité est :

Niveau 2

Soient P le nombre de questions pour lesquelles l’étudiant a obtenu un point et soit N le nombre de questions pour lesquelles il a obtenu -1/4 de point.

Alors la note obtenue est P – 1/4N = 13,

d’où 4P – N = 52

donc N = 4P – 52. Comme il y a 24 questions on a P + N ≤ 24

et donc P + 4P-52 ≤ 24

5P – 52 ≤ 24. Par conséquent, 5P ≤ 76 et P≤ 15.

 N = 8, alors P = 15 qui est le nombre maximal de réponses justes.

Il y a donc 8 réponses fausses et 15 réponses justes.

Mardi :

Niveau 1

Soit n le nombre de personnes dans l’autobus avant l’arrêt.

Ce nombre n’a pas changé car deux personnes sont montées mais deux sont descendues.

Avant l’arrêt le nombre de femmes est 0,4n, après l’arrêt 0,4n – 2.

Ainsi on a : 0,4n – 2 = 0,3n

donc 0,1n =2

d’où n = 20.

Il y a 20 personnes dans l’autobus.

Niveau 2

Montrons que c’est possible!

Supposons que Sophie fasse une première partie du trajet en vélo avec Jean et le reste à pied et qu’Ana commence le trajet à pied. Si Sophie pédale pendant k heures puis marche pendant l heures, il faut que 10k + 5l = 21 et k + l ≤ 3.

Pour rendre k le plus petit possible, cherchons k et l tels que k + l = 3. On obtient donc 5k + 15 = 21, d’où

k = 6/5 et l = 9/5. Ainsi, Sophie parcourt les 21 km en exactement 3 heures.

Jean, après avoir passé 6/5h sur le vélo avec Sophie, fait demi-tour avec le vélo pour rejoindre Ana. Au bout de 6/5h, Jean se trouve au kilomètre 10*6/5 = 12 et Ana au kilomètre 5*6/5=6. Puisqu’Ana continue à marcher, ils se retrouveront après un temps t tel que 6 + 5t = 12 – 15t soit t = 3/10h.

A ce moment, il se sera écoulé en tout 6/5 + 3/10 = 3/2h, c’est-à-dire une heure et demie et ils se retrouveront au kilomètre 7,5. Il suffira alors qu’Ana monte sur le vélo avec Jean : comme il leur restera une heure et demie et qu’ils voyageront à 10km/h, ils arriveront au bout des 21 km en moins de 3 heures.

Mercredi :

Niveau 1

5 est seulement multiple de 1 et le code est pair donc 5 doit être au début et le code commence par 51.

Parmi les quatre chiffres restants (2, 3, 4 et 6), 3 ne peut pas être adjacent ni à 2 ni à 4. De même 4 ne peut pas être adjacent ni à 3 ni à 6. Donc la fin du code est 3624 ou 4263. Mais le code est pair. Donc le code est 513624.

Niveau 2

 

Notons P l’intersection des segments [AE] et [BD], F le pied de la hauteur issue de P dans le triangle ADP et G le pied de la hauteur issue de P dans BEP.

Comme (AD)//(EB), les triangles ADP et BEP sont semblables et on a .

On applique deux fois le théorème de Thalès pour obtenir  .

On en déduit  , d’où .

Par conséquent l’aire du triangle ADP est égale à  cm².

Jeudi :

Niveau 1

Soit a la longueur d’un côté, 2a la longueur du second côté et b la longueur du troisième.

Comme a, 2a et b sont des entiers, on a soit a=15 soit b=15.

En utilisant l’inégalité triangulaire avec a=15, on a :

15 +30 > b ou b + 15 > 30 ou b + 30 > 15 donc 15 < b < 45. Comme le périmètre est égal à 45 + b, sa valeur maximale est atteinte pour b = 44 et le périmètre vaut 89 cm.

Si b = 15, on a de même a + 2a > 15 ou a + 15 > 2a ou 2a + 15 >a soit 5 < a < 15.

Comme le périmètre est égal à 3a + 15, sa valeur maximale est atteinte pour a = 14 et le périmètre vaut alors 57 cm.

Par conséquent, la valeur maximale du périmètre est 89 cm.

Niveau 2

Notons h la hauteur recherchée. Les 14,4 litres d’eau seront donc contenus dans un parallélépipède rectangle de taille 30cm par 30cm par h. d’un autre côté 1 litre d’eau correspond à 1 000 cm3, d’où

30 x 30 x h = 14,4 x 1000 soit h=16 cm.

Vendredi :

Niveau 1

La seule solution est 3-4-5-3-4-5-3-4-5-3

Niveau 2

Soit x le nombre d’élèves (nombre entier naturel).

La première condition du problème est 3x+5>93 et la seconde 2x-1<60.

D’où x>88/3>29 et x<61/2 soit x=30.

il y a 30 élèves dans cette classe.